AGM

Séminaire Géométrie, EDP et Physique Mathématique

Organisateurs : C.Prange, E. Hebey & N. Tzvetkov

Année 2018

DECEMBRE

Lundi 17 décembre, 11h à 12h.

Orateur: Philippe Sosoe (Cornell University)

 

NOVEMBRE

Lundi 12 novembre, 11h à 12h.

Orateur: Giacomo Canevari (BCAM, Bilbao)

 

Lundi 26 novembre, 11h à 12h.

Orateur: Charles Collot (New-York University)

 

OCTOBRE

Lundi 1 Octobre, 11h à 12h.

Orateur: Victor Kleptsyn (Université de Rennes 1)

Théorème de Furstenberg : maintenant avec un paramètre !

Je parlerai des résultats issus d’un travail en commun avec Anton Gorodetski.
Il est bien connu (et c’est le cas le plus simple d'un théorème célèbre de Furstenberg)
que si on considère un produit aléatoire
B_n=A_n … A_2 A_1
de matrices i.i.d. A_j dans SL(2,R), la norme de ce produit est de
croissance exponentielle, sous des hypothèses très faibles sur la loi
des matrices A_j.

Mais que se passe-t-il si on multiplie des matrices dépendantes d’un
paramètre A_i(s), en obtenant un produit B_n(s) qui en dépend aussi ?

Pour chaque valeur individuelle de s, le théorème de Furstenberg est
toujours applicable. Mais il se trouve que sous certaines hypothèses
sur la loi de A_i(s), presque sûrement il existe un ensemble (aléatoire)
X de paramètres, tel que pour chaque s dans cet ensemble on a
liminf 1/n log |B_n(s)| =0.

Tout cela donne un point de vue géométrique sur la localisation
d’Anderson en dimension un. C’est-à-dire : considérons un opérateur
H \Psi = \Delta \Psi + U(n) \Psi(n),
agissant sur l_2(Z), où \Delta est un Laplacien discret et les valeurs U(n)
sont aléatoires, i.i.d. et non-constantes. Il est connu que cet opérateur possède
presque sûrement un spectre purement ponctuel (sous des hypothèses
très faibles sur la loi de U). Nous observons comment ces résultats peuvent être vus (et re-démontrés) d'un point de vue purement dynamique (sans utiliser les fonctions de Green, résolvantes,
etc).

 

Lundi 8 Octobre, 11h à 12h.

Orateur : Giuseppe Genovese (Universität Zürich)

Titre: Gaussian measures, derivative NLS and gauge transformations

The derivative NLS is a integrable and mass-critical one-dimensional PDE, to which it is naturally associated a 1-parameter group of gauge transformations. I will discuss the invariance and quasi-invariance of functional measures, absolutely continuous w.r.t. Gaussians, along the flow of the periodic derivative NLS and its gauge group. Based on a joint work with R. Lucà and D. Valeri.

 

JUIN

Lundi 25 juin

Orateur: Plamen Iliev (Georgia Institute of Technology, Atlanta)

Titre: Bispectrality and integrability

The bispectral problem concerns the construction and the  classification of operators possessing a symmetry between the space and  spectral variables. Different versions of this problem can be solved using techniques from integrable systems, algebraic geometry,  representation theory, classical orthogonal polynomials, etc. I will review the problem and some of these connections and then discuss new  results related to multivariable hypergeometric polynomials and the generic quantum superintegrable system on the sphere.

 

Lundi 18 juin.

Orateur: Nicola Visciglia (Université de Pise)

Titre : Conservation always and almost conservation laws for dispersive equations

Several celebrated dispersive equations are completely integrable, in the sense that they enjoy infinitely many conservation laws involving  high order Sobolev norms. As a consequence it is possible on one hand to show the boundedness of high Sobolev norms, and on the other hand to  deduce invariance of the associated Gibbs measures supported on spaces with high regularity. There are other relevant dispersive models which are not completely  integrable. Nevertheless we shall show how to construct for some of those models a family of almost conservation laws that allow us to give upper bounds on the growth of high Sobolev norms.
At the hand of the talk we shall give some suggestions about the possibility to use eventually almost conservation laws to deduce some results about quasi-invariance of Gaussian measures.

 

Lundi 04 juin

Orateur: Charles-Edouard Bréhier  (Université de Lyon)

Titre: Résultats de régularisation pour des équations de Kolmogorov en dimension infinie.

On s'intéresse à des EDP Stochastiques, paraboliques, semilinéaires, du type $dX_t=AX_tdt+F(X_t)dt+\sigma(X_t)dW(t)$, avec coefficient de diffusion $\sigma$ non constant, et un bruit de type blanc en espace et en temps.
La motivation est d'étudier l'ordre de convergence au sens faible de schémas de discrétisation en temps: on regarde l'erreur $\mathbb{E}[\varphi (N\Delta t))]-\mathbb{E}[\varphi(X_N)]$, pour des fonctions $\varphi$ régulières. Cette analyse d'erreur utilise la solution d'une EDP associée, l'équation de Kolmogorov.
J'expliquerai quelles sont les propriétés de régularisation qui sont nécessaires dans ce cadre EDPS/dimension infinie, et pourquoi le cas d'un coefficient de diffusion non constant est non trivial.
Je présenterai l'idée de la stratégie permettant de traiter ce cas.

Travail en collaboration avec Arnaud Debussche (ENS Rennes).

 

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Résumé: In this t

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