AGM

Séminaire Géométrie, EDP et Physique Mathématique

Organisateurs : C.Prange, E. Hebey & N. Tzvetkov

 

Année 2019

MAI

Lundi  6 Mai 2019, 11h à 12h.

Hans Henrik Rugh (Université Paris Sud Orsay)

Autour du Théorème de Perron-Frobenius : Du réel au complexe.

Le célèbre théorème de Perron-Frobenius vient de fêter ses 100 ans.
Nouvelles démonstrations et généralisations voient le jour régulièrement.
J'ai sélectionné quelques éléments importants dans l'histoire de cette
évolution, à travers des exemples en systèmes dynamiques et probabilités.
Une importante contribution vient de G. Birkhoff qui introduisit en 1957
un principe de contraction uniforme pour des cônes (réels).
Ceci a été ma source d'inspiration pour développer un principe de
contraction uniforme pour des ``cônes complexes'' et ainsi obtenir
des théorèmes de type Perron-Frobenius sur les matrices complexes.

 

AVRIL

Lundi 15 Avril 2019, 11h à 12h.

Tobias Barker (ENS Paris)

Investigation of potential Type I singularities of the Navier-Stokes equations.

In the 19th Century Claude-Louis Navier and George Gabriel Stokes proposed the Navier-Stokes equations as a model for viscous incompressible fluids such as water. Despite the fact that the Navier-Stokes equations are used today in applications, it is still unknown if this model always provides physically relevant predictions. The question as to whether or not the equations form singularities (which  would correspond to points  where the speed of the fluid increases indefinitely) is a Millennium prize problem with a reward of 1 million dollars. In this talk, we'll first review some of the mathematical theory around the Navier-Stokes equations before discussing a potential pathway to obtaining singularities. This is a joint work with Dallas Albritton (University of Minnesota).

 

Lundi 8 Avril 2019, 11h à 12h.

Jean-Christophe Mourrat (CNRS, ENS Paris)

"Inférence d'une grande matrice de rang un et mécanique statistique"

"On observe une version bruitée d'une grande matrice de rang 1. Suivant
l'intensité du bruit, est-il possible de récupérer une information non
triviale sur la matrice? Ce problème, intéressant en soi, sera aussi
motivé par son lien avec un modèle de "verre de spins", c'est-à-dire un
modèle de mécanique statistique où un grand nombre de variables
interagissent les unes avec les autres, avec des interactions aléatoires
positives et négatives. La résolution du problème fera intervenir une
équation de Hamilton-Jacobi."

 

MARS

Lundi 11 mars 2019,11h à 12h.

Emanuele Haus (Università degli Studi di Napoli)

"Strong Sobolev instability of finite-gap solutions of the 2D cubic Schrödinger equation"

A widely held principle in dynamical systems theory is that invariant quasiperiodic tori play an important rôle in understanding the complicated long-time behavior of Hamiltonian ODEs and PDEs. The hope is that such quasiperiodic tori may help understanding other, possibly more generic, dynamics of the system by acting as islands in whose vicinity orbits might spend long periods of time before moving to other such islands.

The purpose of this work is to take a step in the direction of understanding and constructing non-trivial nonlinear dynamics in the vicinity of certain quasiperiodic solutions for the cubic defocusing NLS equation on the two-dimensional torus. This equation admits a special family of elliptic invariant quasiperiodic tori called finite-gap solutions. These solutions are inherited from the integrable 1D model (cubic NLS on the circle) by considering solutions that depend only on one variable. We study the long-time stability of such invariant tori for the 2D NLS model and show that, under certain assumptions and over sufficiently long timescales, they exhibit a strong form of transverse instability in Sobolev spaces H^s(T^2) (0 < s < 1).

More precisely, we construct solutions of the 2D cubic NLS that start arbitrarily close to such invariant tori in the H^s topology and whose H^s norm can grow by any given factor. This work is partly motivated by the problem of infinite energy cascade for 2D NLS, and seems to be the first instance where (unstable) long-time nonlinear dynamics near (linearly stable) quasiperiodic tori is studied and constructed. This is a joint work with M. Guardia, Z. Hani, A. Maspero and M. Procesi.

 

Lundi 18 mars 2019, 11h à 12 h.

Ana Rechtman (Université de Strasbourg)

"L’ensemble minimal des flots de K. Kuperberg"

"En 1993, K. Kuperberg construit des exemples lisses et même analytique réels de flots sans points fixes et sans orbites périodiques sur toute variété fermée de dimension 3. Ces exemples sont à ce jour les uniques exemples de flots ayant ces propriétés. Il sont construits à l’aide de pièges. Un piège est une variété à bord et à coins, nous pouvons penser au produit d'un disque de dimension 2 par un intervalle, qui est munie d’un flot dont les orbites peuvent sortir. Il a la propriété de piéger des orbites : il y a des orbites qui rentrent dans le piège et ne ressortent jamais.

Une orbite piégée s’accumule sur un ensemble fermé invariant à l’intérieur du piège, celui-ci doit contenir un ensemble minimal du flot.  Je vais présenter certains aspects de l’étude de l’ensemble minimal des exemples de K. Kuperberg. A ma connaissance, celui-ci est le premier ensemble minimal exceptionnel de dimension topologique deux. Les résultats présentés ont été obtenus en collaboration avec Steve Hurder."

 

AVRIL

Lundi 8 Avril, 11h à 12h.

Orateur: Jean-Christophe Mourrat (CNRS, ENS Paris)

 

Lundi 15 Avril, 11h à 12.

Orateur: Tobias Barker (ENS Paris)

 

MAI

Lundi 6 mai 2019, 11h à 12h.

Hans Henrik Rugh (Université Paris Sud)

 

Lundi 13 mai 2019, 11h à 12h.

Etienne Le Masson (Université de Cergy Pontoise)

 

JUIN

Lundi 3 juin 2019, 11h à 12h.

Matthew Gursky (University of Notre-Dame)

 

Lundi 17 juin 2019, 11h à 12h.

Antoine Chambert-Loir (Université Paris-Diderot)

 

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