AGM

Séminaire Géométrie, EDP et Physique Mathématique

Organisateurs : T. Daudé, E. Hebey & N. Tzvetkov

Année 2017

MAI 2017

Lundi 15 mai

Invité: Florian Méhat (Université de Rennes)

 

AVRIL 2017

Lundi 24 avril

Invité: Yasunori Maekawa (University of Kyoto)

 

MARS 2017

Lundi 06 mars

Invité: Luca Martinazzi (Université de Basel)

 

Lundi 27 mars

Invité: Anders Karlsson (Université de Genève)

Title: Spectral zeta functions of graphs and the Riemann hypothesis

 Following Carleman one forms zeta functions out of the spectrum of Laplacians, on manifolds and on graphs. In a joint work with F. Friedli we determine the asymptotics of the zeta function in certain families of graphs and relate them to certain number theoretical zetas. It turns out that in a non-trivial way a hypothetical functional relation, of the type s vs 1-s, on the graph side is equivalent to the Riemann hypothesis. Friedli showed moreover that this picture persists when introducing a Dirichlet character on the graph side, concerning the Riemann hypothesis for the corresponding Dirichlet L-functions. The zeta function of the line graph Z is an interesting function in itself, with a functional equation of the standard type, s vs 1-s, extending the ubiquitous Catalan numbers in combinatorics and appearing in the scattering determinant of Eisenstein series. Determinants of Laplacians are also considered.

 

FEVRIER 2017

Lundi 06 février

Invité: Tristan Benoist (Université de Toulouse).

Titre: Mesure invariante des trajectoires quantiques

 Les trajectoires quantiques sont des chaines de Markov qui apparaissent en physique quantique. Elles sont la conséquence d’interaction et de mesure indirecte répétées de systèmes quantiques.
Malgré la simplicité de leur définition, l’étude de ces processus fait appel à des techniques non standard. Typiquement une approche par la phi irréductibilité ou par des techniques de couplage n’apparaissent pas adaptées à la preuve de l’unicité de leur mesure invariante.
Avec M. Fraas, Y. Pautrat et C. Pellegrini, nous nous sommes intéressé à cette question. Je présenterai la preuve de l’unicité de la mesure invariante et de la convergence géométrique vers cette mesure sous des hypothèses optimales que nous avons obtenu.
Inspirée par les techniques issues de l’étude des produits aléatoires de matrices, notre preuve se base sur la construction d’une estimation par maximum de vraisemblance de l’état initial de la chaine de Markov et l’unicité de la mesure invariante d’un système dynamique issu des trajectoires quantiques.

 

Lundi 27 février

Invité: Sylvain Golénia (Université de Bordeaux).

Titre : "Sur la théorie de Mourre avec hypothèse minimale"

La théorie de Mourre est un outil d'analyse spectral puissant et robuste permettant l'analyse du spectre d'un opérateur auto-adjoint. Sous les hypothèses minimales, le résultat classique est l'absence de valeur propre plongée. Sous des hypothèses légèrement plus fortes (et optimales) on obtient un principe d'absorption limite, qui a son tour implique l'absence de spectre singulier continu. Le but de cet exposé est de présenter un nouveau résultat dans le cadre de l'hypothèse minimale. C'est un travail en commun avec Constanza Rojas-Molina.

 

JANVIER 2017

Lundi 09 janvier

Invitée: Anne Sophie De Suzzoni (Université Paris 13).

Titre: The relativistic dynamics of an electron coupled with a
classical nucleus.
(Joint work with F. Cacciafesta and D. Noja)

This talk is about the Dirac equation. We consider an
electron modeled by a wave function and evolving in the Coulomb field
generated by a nucleus. In a very rough way, this should be an
equation of the form
$$
i\partial_t u = -\Delta u + V( \cdot – q(t)) u
$$
where $u$ represents the electron while $q(t)$ is the position of the
nucleus. When one considers relativitic corrections on the dynamics of
an electron, one should replace the Laplacian in the equation by the
Dirac operator. Because of limiting processes in the chemistry model
from which this is derived, there is also a cubic term in $u$ as a
correction in the equation. What is more, the position of the nucleus
is also influenced by the dynamics of the electron. Therefore, this
equation should be coupled with an equation on $q$ depending on $u$.

I will present this model and give the first properties of the
equation. Then, I will explain why it is well-posed on $H^2$ with a
time of existence depending only on the $H^1$ norm of the initial
datum for $u$ and on the initial datum for $q$. The linear analysis,
namely the properties of the propagator of the equation $i\partial_t u
= D u + V( \cdot – q(t))$ where $D$ is the Dirac operator is based on
works by Kato, while the non linear analysis is based on a work by
Cancès and Lebris.

It is possible to have more than one nucleus. I will explain why.

 

Lundi 16 janvier
Invitée: Hajer Bahouri (Université de Créteuil).

Titre: "Analyse asymptotique de la transformée de Fourier sur le groupe de Heisenberg lorsque la fréquence verticale tend vers 0".

 "Dans ce récent travail en collaboration avec Jean-Yves Chemin et Raphael Danchin, nous proposons une nouvelle approche de la transformée de Fourier sur le groupe de Heisenberg. Cette approche permet de voir la transformée de Fourier des fonctions intégrables comme une fonction uniformément continue sur un espace muni d'une distance appropriée (tandis qu'avec le point de vue classique, la transformée de Fourier est une famille d'opérateurs bornés). La complétion de cet espace (qui va jouer le rôle de l'espace des fréquences) permet de capturer le comportement asymptotique de la transformée de Fourier lorsque la fréquence verticale tend vers 0."

 

Lundi 23 janvier
Invité: Victor Vilaca Da Rocha (Université de Nantes)

Titre : Scattering modifié, échange d'énergie et systèmes de Schrödinger
cubiques couplés.

Le but de cet exposé sera de mettre en valeur différents types de
comportements non linéaires pour un système de Schrödinger cubique
couplé. En particulier, nous verrons l'influence du choix de l'espace
des phases sur les types de comportements obtenus.
En partant de résultats connus sur l'équation de Schrödinger cubique,
nous verrons comment le choix de l'espace produit RxT apparaît de façon
naturelle, et comment ce choix nous permet de construire des couples de
solutions qui échangent de l'énergie (effet de battement) en temps
infini grâce à un résultat de scattering modifié.

 

Lundi 30 janvier

Invité: Francesco Fanelli (Université de Lyon)

Titre: "Des questions de régularité dans les problèmes hyperboliques".

 "Dans cet exposé on s'intéresse à des opérateurs hyperboliques linéaires dont les coefficients sont peu réguliers. En particulier, on considère le cas des équations des ondes scalaires et des systèmes hyperboliques du premier ordre.
C'est bien connu que des hypothèses de régularité plus faibles que celle de Lipschitz, en général, comportent une détérioration des propriétés des solutions avec le temps. Alors, le problème de Cauchy peut être bien posé seulement dans l'espace $H^\infty$, avec une perte d'un nombre fini de dérivées.
Ici on va voir comment améliorer ce résultat pour des conditions du deuxième ordre (conditions de Zygmund) sur les coefficients, qui sont plus faibles que celles de Lipschitz." 

 

Année 2016

DECEMBRE 2016

Lundi 5 décembre

Invité: Radu Ignat (Université de Toulouse).

Titre: Interaction energy of domain walls in a nonlocal Ginzburg-Landau type model from micromagnetics

Résumé :

We present a variational model from micromagnetics involving a nonlocal Ginzburg-Landau type energy for S^1-valued vector fields. These vector fields form domain walls, called Neel walls, that correspond to one-dimensional transitions between two directions within the unit circle S^1. Due to the nonlocality of the energy, a Neel wall is a two length scale object, comprising a core and two logarithmically decaying tails.

Our aim is to determine the energy differences leading to repulsion or attraction between Neel walls. In contrast to the usual Ginzburg-Landau vortices, we obtain a renormalised energy for Neel walls that shows both a tail-tail interaction and a core-tail interaction. This is a novel feature for Ginzburg-Landau type energies that entails attraction between Neel walls of the same sign and repulsion between Neel walls of opposite signs. This is a joint work with Roger Moser (University of Bath).

 

Lundi 12 décembre: Séminaire Théorie spectrale et physique mathématique, IHP

 

NOVEMBRE 2016

Lundi 07 novembre: Séminaire Théorie spectrale et physique mathématique, IHP.

 

Lundi 14 novembre: Benoit Grébert (Université de Nantes)

Invité: Benoit Grébert (Université de Nantes)
Titre: Théorème KAM pour l’équation des poutres sur le tore.

Résumé:
We prove a KAM result for the non linear beam equation on the d-dimensional torus
$$u_{tt}+\Delta^2 u+m u + g(x,u)=0\ ,\quad t\in { \mathbb{R}}
, \; x\in \T^d, \qquad \qquad(*)$$
where $g(x,u)=4u^3+ O(u^4)$. Namely, we show that,
for generic $m$, many of the small amplitude invariant finite dimensional tori of the linear equation $(*)_{g=0}$,
persist as invariant tori of the nonlinear equation $(*)$.
If $d\ge2$, then not all the persisted tori are linearly stable,
and we construct explicit examples of partially hyperbolic invariant tori.
The unstable invariant tori, situated in the vicinity of the origin, create around
them some local instabilities, in agreement with the popular belief in the nonlinear
physics that small-amplitude solutions of space-multidimensonal hamiltonian
PDEs behave in a chaotic way. (en collaboration avec Hakan Eliasson et Sergei Kuksin)

 

Lundi 21 novembre: Stéphane Nonnenmacher (Université d'Orsay)

Invité: Stéphane Nonnenmacher (université d'Orsay)
Titre: Diffusion semiclassique en présence d’hyperbolicité

Résumé:
Je m'intéresserai aux systèmes de diffusion de particules quantiques par un potentiel (ou un obstacle, ou une métrique), pour lesquels la plupart des trajectoires arrivent de l'infini et y repartent, après avoir traversé la région d'interaction. Je supposerai néanmoins qu'il existe des trajectoires "piégées", et que la dynamique de ces trajectoires piégées est (au moins partiellement) hyperbolique, voire chaotique. Un exemple simple de tel système consiste en la diffusion dans le plan par 3 obstacles circulaires.

On veut comprendre les propriétés aux temps longs du système quantique correspondant (équation de Schrödinger), ce qui amène à étudier les propriétés spectrales de l'opérateur de Schrödinger engendrant cette dynamique. Cet opérateur (autoadjoint) a un spectre positif purement continu, mais admet aussi des résonances, sortes de valeurs propres généralisées à valeurs dans le demi-plan complexe inférieur. Un de nos objectifs est de comprendre la distribution de ces résonances dans le régime de hautes fréquences (ou régime semiclassique), en se servant des caractéristiques de la dynamique classique, en particulier de l'ensemble des trajectoires captées. Typiquement, on cherchera à compter les résonances dans une région donnée du plan complexe, et à établir l'existence de bandes sans résonances, indication d'une dispersion rapide des ondes

Un "produit dérivé" inattendu de ces méthodes semiclassiques, est l'analyse précise de la décroissance des corrélations pour un flot Anosov de contact, une question de dynamique classique chaotique.

 

Lundi 28 novembre: Marc-Adrien Mandich (Université de Bordeaux). 

Invité: Marc-Adrien Mandich (Université de Bordeaux)

Titre : Décroissance sous-exponentielle des fonctions propres pour certains opérateurs de Schrödinger discrets

Résumé:

On s'intéresse au problème de la décroissance exponentielle des fonctions propres pour des opérateurs de Schrödinger $H := \Delta +V$ sur $\ell^2(Z^d)$ dans la perspective de la théorie de Mourre. En suivant la méthode de Froese et Herbst, on montre pour certains potentiels $V$ qu'une fonction propre de l'Hamiltonien $H$ avec valeur propre $E$ décroit sous-exponentiellement lorsque l'estimation de Mourre est vérifiée en $E$. De plus, en dimension un, on montre que la fonction propre décroit exponentiellement à un rythme qui dépend de la distance de $E$ au seuil le plus proche. Une conséquence de résultat précédent est une absence de valeur propre dans le milieu du spectre de $H$ lorsqu'il n'y a pas de seuils.

 

OCTOBRE 2016

Lundi 03 octobre: Gabriel Rivière (Université de Lille)

Titre: Analyse spectrale des flots de gradient Morse-Smale

Résumé: Etant données une fonction de Morse et une métrique riemannienne sur une variété compacte sans bords, on peut définir un champs de vecteurs. Sous certaines hypothèses (génériques) de type Morse-Smale, j'expliquerai comment on peut déterminer explicitement le spectre de de la dérivée de Lie associée à ce champs de vecteurs et agissant sur certains espaces de courants anisotropes. En guise de motivation, je donnerai quelques applications à la théorie des systèmes dynamiques (décroissance des corrélations) et à la topologie différentielle (inégalités de Morse).
Il s'agit de résultats en collaboration avec Nguyen Viet Dang (Université Lyon 1).

 

Lundi 10 octobre: Bertrand Deroin (UCP)

Titre: "Spectre de Lyapunov des équations différentielles linéaires algébriques dans le domaine complexe".

Résumé : On s'intéressera à la croissance des solutions d'une EDO algébrique linéaire dans le domaine complexe (type équation hypergéométrique par exemple) le long d'une trajectoire brownienne. Les différents ordres de croissance obtenus forment le spectre de Lyapunov. L'exposé consistera à expliciter des formules pour chaque exposant de Lyapunov, en termes de produits d'intersection dans la cohomologie du projectivisé de l'équation. On donnera un certain nombre d'applications, notamment concernant des estimations de dimension de mesures harmoniques, ou la rationalité de certaines sous-sommes d'exposants de Lyapunov dans le cas de variations de structures de Hodge (travaux de Kontsevich Zorich). Il s'agit d'un ensemble de résultats obtenus en collaboration avec Romain Dujardin et avec Jeremy Daniel (en ordre chronologique).

 

Lundi 17 octobre: Victor Chabu (Université Paris Est Créteuil).

Titre: "Semiclassical analysis of the Schrödinger equation with conical potentials"

Résumé: "In this talk we will study the behaviour of the wigner measures of solutions to the Schrödinger equation with potentials pressenting conical singularities. These measures are related to the concentration of the solutions in the limit where a parameter in the equation (e.g.the Planck's constant) goes sufficiently small, and represent a mass density over the phase space, which may be a classical particle or a continuum of mass. The situation becomes particularly interesting with conical singularities, since they give rise to problems of non-unicity in the Hamiltonian flows that ultimately dismiss the existence of any selection principle allowing one to study the measures"time evolution within a pure classical framework"

 

SEPTEMBRE 2016

Lundi 26 septembre: Emmanuel Trélat (Université Paris 6)

Titre: Optimisation du domaine pour observer ou contrôler des modèles EDP.

Résumé:
On étudie le problème d'optimiser la forme et le placement de capteurs ou de contrôleurs, dans des systèmes d'évolution modélisés par des EDP. On considère notamment les modèles classiques des ondes, Schrödinger ou chaleur, sur un domaine arbitraire Omega, en toute dimension d'espace, et avec des conditions frontières appropriées (s'il y a une frontière).
Ce type de problème apparaît fréquemment en pratique dans des applications où l'on chercher, par exemple, à maximiser la qualité de reconstruction de la solution, en se servant d'observations partielles. Par exemple: quelle est la forme optimale, et la localisation idéale dans Omega, d'un thermomètre de mesure de Lebesgue donnée ?
Du point de vue mathématique, il s'agit d'un problème inverse.
Tout d'abord, par des considérations probabilistes (suivant des travaux de N. Burq et N. Tzvetkov), on montre qu'il est pertinent de modéliser ce problème en maximisant ce qu'on appelle la "constante d'observabilité randomisée", parmi tous les sous-domaines de Omega de mesure de Lebesgue donnée. Cela revient à maximiser un infimum parmi tous les modes possibles de certaines quantités spectrales liées aux fonctions propres du Laplacien. L'analyse spectrale de ce problème s'avère être en lien étroit avec la théorie du chaos quantique, plus précisément, avec les propriétés d'ergodicité quantique du domaine.
Il s'agit d'une série de travaux avec Yannick Privat (Paris 6) et Enrique Zuazua (Bilbao).

 

JUIN 2016

Lundi 27 juin: Éric Paturel  (Nantes ).

Titre: Réductibilité et théorème KAM pour l'oscillateur harmonique quantique.

Résumé : On montre que l'équation de Schrödinger sur \R^d avec potentiel
harmonique et un petit potentiel dépendant du temps de manière
quasi-périodique peut se ramener à un système autonome pour la plupart
des vecteurs de fréquences. Ce résultat est la brique fondamentale de la
preuve d'un théorème KAM pour l'oscillateur harmonique quantique en
toute dimension. Les travaux présentés sont le résultat d'une
collaboration avec Benoît Grébert et Alberto Maspero. 

 

Lundi 13 juin: Emmanuel Humbert (Université de Tours).

Titre: Quelques résultats sur l'observabilité pour l'équation des ondes"

Résumé: Cet exposé sera consacré à la constante d'observabilité pour l'équation des ondes : j'expliquerai comment en obtenir une formule explicite en temps long et je présenterai diverses applications de ces résultats. Il s'agit d'un travail en commun avec Y. Privat et E. Trélat.

 

MAI 2016

Lundi 30 mai: Emmanuel Schenck (Université Paris 13).                 

Titre: Résonances près de l'axe réel en diffusion chaotique"

Résumé : J'expliquerai comment, sur des variétés euclidiennes à
l'infini dont l'ensemble capté est hyperbolique, on peut obtenir des
bornes inférieures quasi-linéaires sur le comptage de résonances dans
des bandes près de l'axe réel. Je donnerai les grandes lignes de la
preuve, qui utilise une formule des trace en temps long et des
fonctions test bien choisies.

 

Lundi 23 mai: Jean-François Bony (Université de Bordeaux), 

Titre: Estimation de la résolvante pour des opérateurs faiblement non-autoadjoints.

 

Lundi 09 mai: Kroum Tzanev (Lille)

ANNULE.

 

Lundi 02 mai: Jérémie Faupin (Université de Metz) ET Asma Azaiez (UCP)

Titre (Faupin): Théorie de la diffusion pour les opérateurs de Lindblad

Résumé: Dans cet exposé nous nous intéresserons à un système de mécanique quantique constitué d'une particule interagissant avec une cible localisée dans une région bornée de l'espace. Après avoir pris la trace partielle sur les degrés de liberté de la cible, nous verrons que la dynamique de la particule est engendrée par un opérateur de Lindblad agissant dans l'espace des opérateurs à trace. Nous discuterons la théorie de la diffusion pour une classe générale d'opérateurs de Lindblad. Dans un premier temps, nous considérerons des modèles où la particule s'approchant de la cible est nécessairement ré-émise par la cible, puis, dans une deuxième partie, des modèles où la cible est susceptible de capturer la particule. Un ingrédient important de notre approche est la théorie de la diffusion pour des opérateurs dissipatifs dans des espaces de Hilbert.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Marco Falconi, Jürg Fröhlich et Baptiste Schubnel.

Titre (Azaiez): Profil à l'explosion pour l'équation semi linéaire des ondes à valeurs complexes. 

Résumé : On considère l'équation semi-linéaire des ondes à valeurs complexes avec une nonlinéarité en puissance. On caractérise d'abord toutes les solutions du problème stationnaire comme une famille à deux paramètres. Ensuite, on prouve que la solution en transformation auto-similaire s'approche d'une solution stationnaire particulière dans l'espace d'énergie, dans le cas des points non-caractéristiques. Ceci donne le profil à l'explosion pour l'équation originale dans le cas non-caractéristique.

 

AVRIL 2016

Lundi 11 avril: Laurent Thomann et Christophe Prange (bordeaux)

Titre (Thomann): Mesures invariantes pour NLS en dimension deux.

Résumé: On considère l'équation de Schrödinger non-linéaire sur un domaine borné
en dimension deux. On montre comment on peut utiliser les polynômes de
Laguerre et de Hermite pour renormaliser la non-linéarité
(renormalisation de Wick). Ensuite, grâce à des méthodes de compacité,
on construit des solutions globales à NLS sur le support de la mesure.
Ceci et un travail en commun avec Tadahiro Oh (Edimbourg).

Titre (Pranges): Régularité améliorée par méthodes de compacité.

Résumé: Dans cet exposé nous expliquerons comment obtenir de la régularité Lipschitz jusqu'à l'échelle microscopique pour des équations elliptiques en domaines rugueux. L'analyse repose sur un schéma de compacité et la construction de correcteurs de couche limite dans des espaces d'énergie non bornée. Il s'agit d'un travail avec Carlos Kenig.

 

Lundi 04 avril: Jared Wunsch (Northwestern University)

Titre: Diffractive propagation on conic manifolds

Abstract: I will discuss recent progress in understanding spectral and scattering theory on manifolds with
conic singularities via the analysis of solutions to the wave equation. A key new ingredient is a trace formula obtained in recent work with Austin Ford. 

 

MARS 2016

 Lundi 21 mars: Scott Armstrong (Université Paris 9)

Titre: A quantitative theory of stochastic homogenization

Abstract: Stochastic homogenization involves the study of solutions of partial differential equations with random coefficients, which are assumed to satisfy a "mixing" condition, for instance, an independence assumption of some sort. One typically wants information about the behavior of the solutions on very large scales, so that the ("microscopic") length scale of the correlations of the random field is comparatively small. In the asymptotic limit, one expects to see that the solutions behave like those of a constant-coefficient, deterministic equation. In this talk, we consider uniformly elliptic equations in divergence form, which has applications to the study of diffusions in random environments and effective properties of composite materials. Our interest is in obtaining quantitative results (e.g., error estimates in homogenization) and to understand the solutions on every length scale down to the microscopic scales. In joint work with Tuomo Kuusi and Jean-Christophe Mourrat, we introduce a new method for analyzing this problem, based on a higher-order regularity theory for equations with random coefficients, which, by a bootstrap argument, accelerates the exponent representing the scaling of the error the all the way to the optimal exponent given by the scaling of the central limit theorem. 

 

Lundi 07 mars: Tarek M. Elgindi (Princeton University)

Titre: The Euler Equations in Critical Spaces

Abstract: We will discuss two recent results on ill-posedness for the incompressible Euler equations in critical spaces as well as a few interesting open questions. Namely, we will discuss the proofs of ill-posedness in the classes of C^1 and H^2 velocity fields. These are in collaboration with Nader Masmoudi and In-Jee Jeong respectively. 

 

Février 2016

Lundi 22 févier: Alexandre Boritchev (Université de Lyon)

Titre: Convergence exponentielle et hyperbolicité des minimiseurs pour systèmes Lagrangiens aléatoires.

Résumé: Nous regardons l'équation de Burgers stochastique aussi bien du point de vue de la dynamique Lagrangienne (comportement en temps long des courbes minimisant l'énergie) que du comportement statistique des solutions (convergence en temps long vers la mesure stationnaire). Dans les deux cas nous observons un phénomène de convergence exponentielle. Il s'agit (en partie) d'un travail en collaboration avec K. Khanin (Université de Toronto).

 

Lundi 8 février

Invité:Jérémie Joudioux (University of Vienna).

Titre: La méthode des champs de vecteurs pour les équations de transport relativistes.

Résumé:  La méthode des champs de vecteurs, originellement développée par Klainerman pour l'étude du problème de l'existence globale de solutions aux équations des ondes non linéaires, a été un outil important de la compréhension et de la résolution du problème de la stabilité de l'espace-temps de Minkowski comme solution des équations d'Einstein en l'absence de matière. Dans un travail en collaboration avec D. Fajman (Vienne) et J. Smulevici (Orsay), on développe une technique de commutation par des champs vecteurs, inspirée de la méthode de Klainerman, et adaptée à l'équation de transport relativiste. On obtient ainsi des estimations de décroissances pour les solutions de ces équations. Cette technique de commutateurs est suffisamment  robuste pour traiter des perturbations de l'équation de transport, couplées à une équation des ondes. Ou prouve alors, pour ce système couplé, connue sous le nom de système de Vlasov-Nordström, existence globale des solutions pour des donnés petites, ainsi que la description de leur comportement asymptotique

 

Janvier 2016

Lundi 25 janvier

Invitée: Ana Bela Cruzeiro (Universidade de Lisboa).

Résumé: Nous décrirons une extension des principes variationnels de la Mécanique
Géométrique et de la réduction d'Euler-Poincaré sur des groupes de Lie à
des systèmes dissipatifs. Cette extension est obtenue en introduisant une
notion de courbes Lagrangiennes stochastiques.
Nous analyserons particulièrement le cas où le groupe est celui des
difféomorphismes, l' équation du mouvement correspondante étant celle
de Navier-Stokes.

 

Lundi 18 janvier

Invitée: Anne de Bouard (Ecole polytechnique).

Titre: L'équation de Landau-Lifshitz stochastique

Résumé: Nous passerons en revue quelques résultats récents sur l'équation de Landau-Lifshitz stochastique qui modélise les effets de la température sur la dynamique de l'aimantation en micro-magnétisme. La particularité de ce modèle est la contrainte géométrique - la magnétisation est un vecteur unitaire - qui rend l’équation non linéaire. Cette équation est liée également au flot de la chaleur pour les applications harmoniques.
L’équation aux dérivées partielles stochastique associée, qui prend en compte les effets de la température a connu quelques avancées récentes, du point de vue de l’analyse mathématique aussi bien que de l'analyse numérique, mais offre toujours de nombreux problèmes ouverts.

 

Lundi 11 janvier

Invité: Benoit Pausader (Brown University).

 

Lundi 4 janvier

Invité: Julien Royer (Université de Toulouse)

 

Année 2014-2015

Décembre 2015

Lundi 7 décembre

Invité: Louis JeanJean (Université de Franche-Comté).
Titre: Etat fondamental pour un gas dipolaire quantique en régime instable"

 

Novembre 2015

Lundi 30 novembre   >>  Annulé / reporté au 18 janvier  <<

 

Lundi 23 novembre.

Invité: Alexei Iantchenko (Malmo University)

Title: "Quasi-normal modes for  massless Dirac fields in Kerr-Newman-de Sitter black holes"

Abstract:  We provide the full asymptotic description of the quasi-normal modes in any strip of fixed width for massless Dirac fields in slowly rotating Kerr-Newman-de Sitter black holes. The method is based on the extension to the Dirac operators of techniques applied by Dyatlov   to the Kerr-de Sitter black holes.

 

Lundi 16 novembre.

Invité: Frédéric Bernicot (Université de Nantes).

Titre : Le calcul paracontrolé et EDPs singulières via le semi-groupe de la chaleur.

Résumé : Nous présenterons la philosophie du calcul paracontrolé, introduit récemment par Gubinelli, Imkeller et Perkowski. Celui-ci peut être pensé comme un développement en termes de régularité, afin d'isoler les singularités d'une fonction et de pouvoir "suivre" leurs intéractions à travers une non-linéarité. Nous verrons comment cela peut être utilisé pour l'étude d'EDPs singulières (stochastiques), dont le prototype est le modèle gPAM (generalized Parabolic Anderson Model) en dimension 2 et 3. Puis, on expliquera comment on peut se soustraire du cadre Euclidien et définir un calcul paracontrolé dans un cadre métrique-mesuré associé à un semigroupe d'opérateurs.

 

Lundi 02 novembre.

Invité: Maxime Hauray (Université de Marseille).
Titre: Convergence de systèmes de particules, vers Vlasov-Poison, Navier Stokes et Landau.

Résumé: Les premiers résultat de convergence de systèmes de particules en interaction, dans le régime dit de "champ moyen", remontent à McKean (années 60) pour le cas stochastique, et Braun et Hepp puis Dobrushin (années 70) pour le cas déterministe. Mais ces résultats ne sont valables que pour des interactions régulières, alors que la règle est plutôt aux interactions singulières: interaction Coulombienne, gravitationelle, et vortex...
Par contre, si on suppose de la régularité sur la solution de l'équation "limite" (vers laquelle on veut montrer la convergence), et si on peut montrer un résultat de stabilité fort-faible sur cette équation limite, alors on peut espérer montrer la convergence des systèmes de particules.
En particulier, cette stratégie marche pour l'équation de Vlasov-Poisson (avec ou sans bruit) en 1D, pour un Vlasov singulier en 3D, pour Landau avec potentiel modérément mou en 3D, pour des systèmes de type Cucker-Smale en biologie...
Et si le temps le permet, j'expliquerais comment un bruit (complet ou elliptique) permet de traiter des interactions encore plus singulières.
Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec P.E. Jabin, S. Mischler, N. Fournier, J. Carrillo, Y.P. Choi, S. Salem.

 

Octobre 2015

Lundi 19 octobre.

Invité: Joseph Viola (Université de Nantes).

Titre: Évolution pour des opérateurs quadratiques supersymétriques  non-autoadjoints

Résumé : Nous étudions le "semi-groupe" d'évolution exp(-tQ) pour une classe de générateurs, quadratiques en (x, D), ayant une structure supersymétrique qui nous permet de trouver une suite complète de fonctions propres. Une réduction FBI-Bargmann nous permet de décrire cet opérateur d'évolution de façon élémentaire et dynamique pour tout temps complexe, sur un espace pondéré de fonctions holomorphes. Notamment, nous pouvons facilement voir le lien entre le comportement en temps petits et l'ellipticité du générateur, ainsi que le rôle central des valeurs propres en temps longs.Travaux en collaboration avec A. Aleman.

 

Lundi 12 octobre.

Invité: Camille Laurent (Université Pierre et Marie-Curie, Paris 6).

Titre: Quantification du prolongement unique pour des opérateurs partiellement analytiques. Applications au contrôle des ondes.

Résumé: Le prolongement unique est souvent prouvé par des inégalités de Carleman ou le théorème de Holmgren. Le premier nécessite la condition de forte pseudoconvexité de l'hypersurface. Le second demande seulement que l'hypersurface soit non caractéristique mais impose des coefficients analytiques.
Motivés par l'exemple des ondes, plusieurs auteurs (Tataru, Robbiano-Zuily, Hörmander) ont prouvé qu'il pouvait y avoir aussi prolongement unique dans des situations intermédiaires où les coefficients sont analytiques dans certaines des variables. En particulier, pour l'équation des ondes, cela a permis de prouver le prolongement unique le long d'une hypersurface non caractéristique pour une métrique non nécessairement analytique.
Dans cet exposé, après avoir présenté ces divers travaux, je décrirai des travaux récents avec Matthieu Léautaud où l'on quantifie ce prolongement unique. Cela fournit des estimées de stabilité logarithmiques optimales (en général). On donnera aussi des applications au contrôle.

 

Lundi 05 octobre.

Invité: Otared Kavian (Université de Versailles).

Titre: Résultats d'unicité et de stabilité pour la détermination d'un potentiel dans un guide d’ondes.

Résumé : (cliquez ici)

 

Septembre 2015

Lundi 21 septembre.

Invité: Tetsu Mizumachi (Hiroshima University)

Titre: Stability of line solitons for KP-II

Abstract: The KP-II equation is a $2$-dimensional generalization of the KdV equation that takes slow variations in the transversal direction into account. In this talk, I will explain stability of $1$-line soliton solutions to perturbations in a Sobolev space assuming that the perturbations are the $x$-derivative of $L^2$ functions.

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