AGM

Séminaire Géométrie, EDP et Physique Mathématique

Organisateurs : T. Daudé, E. Hebey & N. Tzvetkov

Année 2018

JUIN

Lundi 25 juin

Orateur: Plamen Iliev (Georgia Institute of Technology, Atlanta)

Titre: Bispectrality and integrability

The bispectral problem concerns the construction and the  classification of operators possessing a symmetry between the space and  spectral variables. Different versions of this problem can be solved using techniques from integrable systems, algebraic geometry,  representation theory, classical orthogonal polynomials, etc. I will review the problem and some of these connections and then discuss new  results related to multivariable hypergeometric polynomials and the generic quantum superintegrable system on the sphere.

 

Lundi 18 juin.

Orateur: Nicola Visciglia (Université de Pise)

Titre : Conservation always and almost conservation laws for dispersive equations

Several celebrated dispersive equations are completely integrable, in the sense that they enjoy infinitely many conservation laws involving  high order Sobolev norms. As a consequence it is possible on one hand to show the boundedness of high Sobolev norms, and on the other hand to  deduce invariance of the associated Gibbs measures supported on spaces with high regularity. There are other relevant dispersive models which are not completely  integrable. Nevertheless we shall show how to construct for some of those models a family of almost conservation laws that allow us to give upper bounds on the growth of high Sobolev norms.
At the hand of the talk we shall give some suggestions about the possibility to use eventually almost conservation laws to deduce some results about quasi-invariance of Gaussian measures.

 

Lundi 04 juin

Orateur: Charles-Edouard Bréhier  (Université de Lyon)

Titre: Résultats de régularisation pour des équations de Kolmogorov en dimension infinie.

On s'intéresse à des EDP Stochastiques, paraboliques, semilinéaires, du type $dX_t=AX_tdt+F(X_t)dt+\sigma(X_t)dW(t)$, avec coefficient de diffusion $\sigma$ non constant, et un bruit de type blanc en espace et en temps.
La motivation est d'étudier l'ordre de convergence au sens faible de schémas de discrétisation en temps: on regarde l'erreur $\mathbb{E}[\varphi (N\Delta t))]-\mathbb{E}[\varphi(X_N)]$, pour des fonctions $\varphi$ régulières. Cette analyse d'erreur utilise la solution d'une EDP associée, l'équation de Kolmogorov.
J'expliquerai quelles sont les propriétés de régularisation qui sont nécessaires dans ce cadre EDPS/dimension infinie, et pourquoi le cas d'un coefficient de diffusion non constant est non trivial.
Je présenterai l'idée de la stratégie permettant de traiter ce cas.

Travail en collaboration avec Arnaud Debussche (ENS Rennes).

 

FEVRIER

Lundi 05 février (Annulation de l'exposé)

Orateur: Tristan Roy (Nagoya University)

 

Lundi 12 février

Orateur: Aurélien Galateau (Université de Besançon)

 Titre: Comptage de la torsion sur les courbes algébriques et généralisations.

Un problème central en géométrie diophantienne, formulé par Manin et Mumford dans les années 70, consiste à étudier la répartition de la torsion dans les courbes algébriques, ou plus généralement dans les sous-variétés des variétés abéliennes. Une question analogue a été posée par André et Oort sur les points spéciaux des variétés de Shimura, et elle est en passe d'être entièrement résolue après une vingtaine d'années de recherches intensives. Dans cet exposé, je donnerai un aperçu des résultats effectifs connus sur la distribution des points de torsion et des points spéciaux.

 

JANVIER

Lundi 15 janvier

Orateur: Noe Cuneo (Université de Cergy)

 Titre: Etats stationnaires hors équilibre pour des chaînes d’oscillateurs et de rotateurs

Je parlerai de chaînes d'oscillateurs et de rotateurs interagissant avec des réservoirs thermiques stochastiques à différentes températures. Je présenterai ces modèles très simples dans le cadre du problème (non résolu!) de la conduction thermique. Ensuite, nous parlerons d'une question bien plus élémentaire: l'existence d'une mesure invariante (appelée état stationnaire hors équilibre) pour de tels modèles, qui a été prouvée seulement dans quelques cas particuliers au cours des 20 dernières années. Nous discuterons des difficultés spécifiques à chaque modèle, en esquissant les idées permettant de les dépasser.

 

 Lundi 22 janvier 2018

Orateur: Marouane Assal (Université de Nice)

 Titre: "Fonction de décalage spectral pour des opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels"

Je présenterai quelques résultats sur les propriétés spectrales
des opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels à valeurs
matricielles dans limite semi-classique h-->0. Nous développons une
approche stationnaire pour l'étude de la fonction de décalage spectral
associée à une paire d'opérateurs de Schrödinger à potentiels
matriciels. Une  asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la
fonction de décalage spectral est établie, et sous l'hypothèse
d'existence d'une  fonction fuite scalaire, un développement
asymptotique complet en  puissances du paramètre semi-classique au sens
fort sur sa dérivée  est obtenu. Ce dernier résultat est une
généralisation au cas  matriciel du résultat de D. Robert et H. Tamura
(1984) prouvé dans  le cas scalaire près des énergies non-captives. Ces
résultats sont  des conséquences d'une formule de trace semi-classique
pour des  systèmes d'opérateurs h-pseudodifférentiels microhyperboliques
  établie dans un cadre général. Il s'agit de résultats issus d'un
travail en collaboration avec Mouez Dimassi (Université de Bordeaux)  et
Setsuro Fujiié (Ritsumeikan University, Japon).

 

Lundi 29 janvier

Orateur: Yohei Yamazaki (Université de Cergy-Pontoise)

 

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Résumé: In this t

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