AGM

Séminaire Jeunes Chercheurs

Organisateurs 2018-2019 : Jean-François Bougron et Alexandre Martin

Année 2019

JUIN

Mercredi 12 Juin

Sergio CRUZ BLAZQUEZ (Universidad di Grenada - SNS Pisa)

Title: Curvature prescription problems on manifolds with boundary

 In this talk we consider two curvature prescription problems on compact riemannian manifolds with boundary via a conformal change of the metric. This leads us to two different semilinear elliptic Partial Differential Equations with nonlinear Neumann boundary conditions. We address the question of existence by methods of Calculus of Variations.

The first one is the problem of prescribing Gaussian and geodesic curvature on the flat disk and its boundary, respectively. Setting the problem in a novel variational framework we are able to find minimizers under symmetry assumptions, when both functions are nonnegative. After that, we study a natural generalization of it to higher dimensions: the prescribed scalar and mean curvature on problem on a compact manifold with boundary.

 

Mercredi 26 juin

Jason Ledwidge (Universität Tubingen)

Title: Characterising the Ricci flow by the asymptotics of the conjugate heat kernel with applications

Ricci solitons are solutions to the Ricci flow modulo a diffeomorphism, and arise as singularity models for solutions to the Ricci flow. In this talk we will prove some estimates on the conjugate heat kernel on shrinking Ricci solitons and show how these estimates allow us to bound the Riemann curvature tensor and obtain injectivity radius lower bounds. We will restrict ourselves to the compact setting but if time permits, we will discuss how these results are extended to the non-compact setting.

 

MAI 2019

Lundi 27 Mai

David LETURCQ (Université de Grenoble)

Titre: Définir des invariants de nœuds en comptant des diagrammes

Les nœuds longs sont des plongements de R dans R^3, verticaux en-dehors d'une boule. Deux tels plongements sont dits isotopes s'il existe une famille lisse de nœuds longs allant de l'un à l'autre. Afin d'étudier les classes d'isotopie de ces nœuds longs, il est utile de rechercher des grandeurs préservées par les isotopies, appelées invariants. 
Dans cet exposé, nous expliquerons comment définir et calculer l'invariant de Vassiliev z_2 des nœuds longs de plusieurs manières, en utilisant la notion de propagateurs.
Enfin, ceci nous permettra de donner une formule explicite de z_2, en fonction de certaines courbes d'une surface de Seifert (i. e. une surface dont le bord est le nœud). 
Cette formule nous permettra d'identifier z_2 à un invariant plus classique, le polynôme d'Alexander.
Si le temps le permet, nous expliquerons comment généraliser ces méthodes et résultats en dimension supérieure.

 

AVRIL 2019

Lundi 08 Avril 

Hicham Labeni (UCP).

Titre : Fuchsian isometric immersion in Anti-de-Sitter space

We will prove the existence of a convex isometric immersion, of a metric with curvature not greater than  -1, on a compact surface  (in the sense of Alexandrov )  in a Lorentzian manifold of curvature  -1.

 

Mercredi 10 Avril

Paul Geniet (Institut Mathématiques de Bordeaux) 

Titre : Un hamiltonien quantique dans un champ magnétique unitaire à potentiel axisymétrique

Nous étudions un hamiltonien quantique associé à un potentiel magnétique asymétrique. Le champ magnétique associé est unitaire mais non constant. Le problème se réduit à une famille d'opérateurs de Sturm-Liouville sur la demi-droite, indexée par un nombre quantique. Nous étudions les fonctions de bande associées. Elle possèdent des limites finies qui sont les niveaux de Landau. Ces limites jouent le rôle de seuils dans le spectre de l'hamiltonien. Nous fournissons un développement asymptotique de ces fonctions de bande à l'infini. Chaque niveau de Landau est associé à une infinité de fonctions de bande et chaque niveau d'énergie est coupé par une infinité de fonctions de bande. Nous montrons que parmi les fonctions de la bande qui intersectent un niveau d'énergie fixe, la dérivée peut être petite arbitraire. Nous appliquons ce résultat pour prouver que même s’ils sont localisés en énergie loin des seuils, les états quantiques possèdent une composante 'bulk'. Un résultat similaire est également vrai en mécanique classique.

 

Lundi 15 avril

Yi Pan (UCP)

Titre: Spectre des opérateurs de Schrödinger quasi-périodiques 1-dimensionnels discrets et propriétés dynamiques des cocycles correspondants

Le spectre des opérateurs de Schrödinger 1-dimensionnels discrets avec potentiel défini de manière dynamique, en particulier quasi-périodique, est étroitement lié à l'hyperbolicité uniforme des cocycles SL (2, R) correspondants. De plus, le spectre absolument continu est lié aux zéros des exposants de Lyapunov et à la réductibilité des cocycles. Dans cet exposé, nous expliquerons ce lien entre spectre et propriétés dynamiques. Ensuite, nous nous concentrerons sur une dichotomie (réductibilité ou conjugué au modèle) des quelques types spécials des cocycles.

 

JANVIER 2019

Mercredi 30 janvier

Ali Neji (UCP)

Titre : Existence unicité et régularité de solutions de problèmes non linéaires et complètement non linéaires elliptiques singuliers.

Dans cette thèse on s'intéresse à l'existence, et la régularité pour des équations aux dérivées partielles non linéaires relatives au $p$Laplacien , avec des termes d'ordre critiques ou sous critique, utilisant dans un cas le lemme du col d'Ambrozetti Rabinowitz, dans l'autre la concentration compacité de P L Lions. On considère ensuite un problème qui présente un terme d'ordre zéro qui "explose " près du bord, sur le modèle d'un article de Lazer mackenna, la différence essentielle étant ici que l'on a aussi un terme d'ordre $0$ linéaire, qui demande donc l'utilisation de certaines fonctions propres. Une généralisation de ce problème à des cas complètement non linéaires et donc à des solutions de viscosité est étudiée dans la dernière partie de la thèse.

 

 

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