AGM

Séminaire des thésards

Organisateurs 2016-2017 : Pierre-Damien Thizy et Mouhamadou Sy

 Année 2016 - 2017

MARS 2017

vendredi 17/03/2017 à 16h30

Thomas Dumas (Université de Cergy-Pontoise)

Régularité d’une solution d’EDP relative au 1-Laplacien anisotrope »

Après avoir rappelé le cadre dans lequel nous travaillons, nous étudierons la régularité L infini locale d’une solution d'EDP relative au 1-Laplacien anisotrope.
Pour cela, nous montrerons la régularité d’un « minimiseur approché », en tentant de motiver la méthode, puis nous verrons comment passer à la limite à l’aide de techniques variationnelles permettant de pallier au problème de non unicité du minimiseur du problème limite.

 

vendredi 10/03/2017 à 16h15.

Alexis Auvray (Centrale Lyon)

Rencontre avec un problème de couche mince non régulier

 Les problèmes d’équations aux dérivées partielles sur des domaines non réguliers avec couche mince, dits de transmission, sont fréquents en physique, biologie, ingénierie… Cependant, leurs résolutions numériques peuvent poser des difficultés quand la couche devient trop mine. Dans cet exposé, nous commencerons par traiter un cas modèle régulier et proposerons un modèle sans couche, dit d’impédance, pour approcher celui de transmission afin d’éviter les problèmes engendrés par la couche. Puis nous regarderons ce qui ce passe dans le cas non régulier pour constater une perte de précision par rapport au cas régulier. Enfin, nous verrons quelques alternatives afin de rattraper cette perte de précision.

 

vendredi 3/03/2017 à 16h15

Jean-François Bougron (Université de Cergy-Pontoise)

Réponse linéaire des systèmes quantiques en interactions répétées

Résumé : Considérons l'expérience du Maser à un atome : une cavité qui contient des photons est traversée par M faisceaux d'atomes ; chaque atome entre dans la cavité à une température propre à son faisceau ; à chaque instant, la cavité contient un atome et un seul. Les photons forment alors un système quantique en interactions répétées (= un atome à la fois). On s'inspire d'un article de V. Jaksic, C.-.A Pillet et M. Westrich, pour montrer les formules de Green-Kubo et les relations de réciprocité d'Onsager (théorie de la réponse linéaire) sur de tels systèmes, en commençant par un modèle simplifié en dimension finie.

 

FEVRIER 2017

vendredi 27/02/2017 à 16h15

Aiman Mbarek (Université de Cergy-Pontoise)

Opérateur de Dirac : problème spectrale inverse

L'exposé vise à étudier en premier lieu : le théorème d'absorption limite pour des opérateurs de Dirac avec des potentiels oscillants. Le fait de considérer des potentiels oscillants est intéressant dans la mesure où ses opérateurs peuvent avoir des valeurs propres plongées dans le spectre continu (c'est le cas pour Schrödinger), ce qui est plutôt inhabituel et introduit de nouvelles difficultés. L'étude du théorème d'absorption limite est très importante pour la théorie de la diffusion. Un intérêt particulier du sujet réside dans le fait que l'outil naturel pour procéder à l'étude en question, à savoir la théorie du commutateur de Mourre, ne s'applique pas. Nous avons inspiré d'un article de DE MONVEL-MANDA-PURICE et le démarche de l'article de Jecko-Golénia. Et en deuxième lieu : problème spectrale inverse pour l'opérateur de Dirac avec un potentiel relativement compact par rapport à l'opérateur de Dirac libre. L'objectif de cette partie est de montrer que l'opérateur de Dirac D peut avoir une valeur propre plongée dans son spectre essentiel. 

vendredi 3/02/2017 à 16h15

Annalaura Stingo (Université Paris 13)

Existence globale et comportement asymptotique pour une équation de Klein-Gordon quasi-linéaire en dimension 1 d’espace, avec données initiales doucement décroissantes à l’infini.

Résumé : Soit u solution d’une équation de Klein-Gordon cubique, quasi-linéaire, en dimension 1 d’espace, avec données initiales régulières de taille petite. Il est connu que, sous certaines   conditions sur la non-linéarité, la solution est globale en temps pour des données initiales à support compact. Nous montrons que ce résultat est aussi vrai quand les données ne sont pas à support compact mais seulement décroissantes à l’infini comme ⟨x⟩^{−1}, en combinant la méthode des champs de vecteurs de Klainerman avec une méthode de formes normales semi-classiques. De plus, nous obtenons un développement asymptotique à un terme pour u lorsque, prouvant ainsi un résultat de scattering modifié.

 

JANVIER 2017

vendredi 6/01/2017  à 16h15

Mouhamadou Sy (Université de Cergy-Pontoise)

Titre: Mesures invariantes pour des EDPs Hamiltoniennes

 Pour une EDO conservative, le théorème de Liouville garantit l'invariance de la mesure de Lebesgue définie sur son espace des phases. Ainsi on peut développer la théorie des mesures de Gibbs pour des systèmes fini-dimensionnels. Pour un système dynamique (continue en temps) à espace des phases compact, le théorème de Bogoliubov-Krylov garantit également l'existence d'une mesure invariante. Qu'en est-il des EDPs qui sont, de nature, infini-dimensionnelles et beaucoup trop souvent à espaces des phases non compacts ?
Nous tenterons de répondre à cette question en discutant sur deux approches différentes ayant un rapport aux deux théorèmes décrits ci-dessus. Nous présenterons également de nouveaux résultats obtenus pour les équations de Klein-Gordon/Ondes à non-linéarité cubique en dimension 3.

 

Année 2016

 

NOVEMBRE 2016

vendredi 18 novembre 2016

Igor Honore de l'université d'Evry

Titre : "Inégalités de concentration non-asymptotiques pour l'approximation de la mesure invariante associée à un processus de diffusion"

 "L'objectif du travail est d'obtenir des inégalités de concentration non-asymptotiques pour la différence entre la mesure invariante $\nu$ d'un processus de diffusion brownien ergodique et la distribution empirique d'un schéma d'approximation à pas décroissants le long d'une classe appropriée de fonctions tests $f$ ( suffisamment régulières ) telles que $ f - \nu (f)$ soit un cobord du générateur infinitésimal."

 

OCTOBRE 2016

vendredi 02/10/2016 à 16h15

Pierre-Damien Thizy (Université de Cergy-Pontoise)

Titre: Autour d'une inégalité de Moser-Trudinger

Résumé : On discutera d'abord des résultats de Pohozaev (65) et Trudinger (67) affirmant que sur un ouvert borné du plan, si u est dans H^1_0, alors exp(u^2) est dans L^1; on donnera aussi l'amélioration de ce résultat prouvée par Moser en 79 affirmant que la croissance en exp(t^2) est optimale en un certain sens (avec un schéma de preuve). Dans une deuxième partie, on discutera de l'équation d'Euler-Lagrange (dite de Moser-Trudinger) associée à ces inégalités de Moser-Trudinger avec, comme application, des preuves récentes d'existence d’extrémales. On discutera enfin rapidement de résultats à propos de cette équation obtenus avec Olivier Druet.

vendredi 14 octobre 2016

Julien Chevallier (Université de Cergy-Pontoise)

Titre: Modélisation de grands réseaux de neurones par processus de Hawkes

Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. À un niveau microscopique, l’activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. À une plus grande échelle, un système d’EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d’EDP) peut se retrouver à partir d’un réseau de neurones en interaction de type champ-moyen quand n tend vers +1 via un résultat de type “Loi des grands nombres”. De plus, les fluctuations du réseau de n neurones autour du comportement limite/macroscopique sont examinées et caractérisées par un résultat de type “Théorème central limite”. Cette étude finale pourrait permettre la dérivation d’un système d’EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d’EDP classique.

 

JUIN 2016

Jeudi 30 Juin à 16h15

Présentateur : Nicolas Marrière (Université de Cergy-Pontoise)

Titre : Recherche d'attaques différentielles impossibles par la méthode UID (Unified Impossible Differential).

Résumé : La cryptanalyse différentielle impossible est une attaque moderne, efficace et parfois la meilleure dont les résultats sont complémentaires d'une attaque différentielle classique. La méthode appelée "miss-in-the-middle", qui consiste à relier deux différentielles de probabilité 1 ayant une contradiction au milieu, est utilisée pour trouver de telles attaques. UID est un algorithme basé sur cette approche. Il s'applique sur des chiffrements par blocs de type Feistel avec des fonctions de tours bijectives. Le principal avantage de cet algorithme est sa généricité parmi les chiffrements de type Feistel. Nous allons donc revenir sur les attaques différentielles impossibles, voir la méthode UID ainsi que quelques idées sur une généralisation de l'algorithme.

 

MAI 2016

Jeudi 12 Mai à 16h15

Présentateur : Tristan Robert (Université de Cergy-Pontoise)

Titre : Sur le problème de Cauchy pour l'équation de Kadomtsev-Petviashvili.

Résumé : L'équation de Kadomtsev-Petviashvili (KP) est un modèle de propagation des vagues en deux dimensions, qui généralise le modèle unidimensionnel de Korteweg et de Vries (KdV). Dans cet exposé, nous expliquerons comment construire un flot global pour l'équation KP. En particulier, nous verrons que ce problème nécessite des outils différents selon que l'on considère une faible tension de surface (équation KP-II) ou une forte tension de surface (équation KP-I). Nous présenterons une méthode générale due à Bourgain qui permet d'aborder de nombreuses équations dispersives et en particulier l'équation KP-II. Enfin, si le temps le permet, nous évoquerons une méthode plus récente due à Ionescu, Kenig et Tataru qui permet de traiter des EDP dispersives pour lesquelles la méthode de Bourgain ne peut être utilisée du fait d'un phénomène de résonances, comme c'est le cas pour l'équation KP-I.

 

AVRIL 2016

Jeudi 14 Avril à 16h15

Présentateur : Pierre Hodara (Université de Cergy-Ponsoise)

Titre : Estimation du taux de saut d'un Processus Markovien déterministe par morceaux.

Résumé : Un processus Markovien déterministe par morceaux (PDMP) est un processus décrivant une évolution déterministe dans le temps, avec des sauts qui interviennent à des temps aléatoires. La loi de ces temps est donnée par une fonction d'intensité ayant pour argument la position du processus. Dans notre cas le PDMP modélise le potentiel de membrane de neurones connectés en réseau. Un saut correspond à l'émission d'un signal par un neurone qui va modifier le potentiel de membrane de chaque neurone dans le réseau. On construit un estimateur pour la fonction d'intensité, ce qui nécessite un travail préalable sur la mesure invariante du processus (qui est Markovien comme son nom l'indique). 

 

MARS 2016

Jeudi 10 Mars à 16h15

Présentateur : Guilherme Ost (Université de Cergy-Ponsoise)

Titre : A model for neural activity in the absence of external stimuli.

Résumé : We study a stochastic process describing the continuous time evolution of the membrane potentials of finite system of neurons in the absence of external stimuli. The values of the membrane potentials evolve under the effect of {\it chemical synapses}, {\it electrical synapses} and a \textit{leak current}. The evolution of the process can be informally described as follows. Each neuron spikes randomly following a point process with rate depending on its membrane potential. When a neuron spikes, its membrane potential is immediately reset to a resting value. Simultaneously, the membrane potential of the neurons which are influenced by it receive an additional positive value. Furthermore, between consecutive spikes, the system follows a deterministic motion due both to electrical synapses and the leak current. Electrical synapses push the system towards its average potential, while the leak current attracts the membrane potential of each neuron to the resting value.

 

Jeudi 17 Mars à 16h15

Présentateur : Thomas Dumas (Université de Cergy-Pontoise)

Un problème relatif au 1-laplacien anisotrope.

Résumé : Nous étudions un problème variationnel en dimensions 2 anisotropique (faisant intervenir deux exposants différents sur les dérivées partielles, l’un des exposants étant égal à 1). Nous commencerons donc par l’étude d’un espace de Sobolev anisotrope ainsi que son adhérence faible, en montrant les théorèmes d’injection et de traces. Nous étudierons ensuite l’existence d’une solution du problème variationnel dans le cas où les conditions aux limites sont sur une partie convenable du bord. Enfin, nous caractériserons l’EDP vérifiée par une solution du problème.

 

Janvier 2016

Jeudi 28 Janvier à 16h15

Présentateur : Clément Mifsud (Université Paris 6)

Titre : Structure hyperbolique pour un modèle simplifié du problème dynamique de la plasticité parfaite.

Résumé : Dans cet exposé, on s'intéressera à un modèle simplifié du problème dynamique de la plasticité parfaite. Dans un premier temps, on présentera le modèle et deux approches possibles pour décrire un tel problème (hyperbolique sous contraintes/variationnelle). On expliquera comment la vision hyperbolique a motivé notre choix de condition de bord. Ensuite, on détaillera comment, grâce à une approche provenant du calcul des variations, il est possible d'obtenir l'existence et l'unicité de solution pour ce problème (en relaxant la condition de bord). Puis, en utilisant des arguments hyperboliques, on démontrera un résultat de régularité en temps courts pour ces solutions. Enfin, on analysera le lien entre les solutions variationnelles et hyperboliques pour ce problème.

 

Année 2015

 Décembre 2015

Vendredi 10 Décembre à 16h15

Présentateur: Alexandre Martin (Université de Cergy-Pontoise)

Titre : A propos du Principe d'Absorption Limite pour les opérateurs de Schrödinger.

Résumé : Nous rappellerons tout d'abord quelques notions concernant la régularité d'un opérateur sur un espace de Hilbert. Nous parlerons aussi du théorème de Mourre, que nous chercherons à appliquer dans le cadre des opérateurs de Schrödinger. Pour cela nous nous baseront principalement sur le théorème de S. Nakamura. Nous présenterons ensuite une généralisation de ce théorème à une classe plus grande d'opérateurs, permettant notamment d'appliquer le théorème de Mourre avec un plus grand nombre de potentiels. Nous finirons cet exposé par une présentation du flot lié au groupe unitaire généré par l'opérateur A=u(p)q+qu(p).

Novembre 2015

Vendredi 6 Novembre à 16h15

Présentateur : Présentateur : Thibault Ebroussard (Université de Cergy-Pontoise)

Titre: "Comportement en temps long d'un système quantique avec interactions répétées."

Résumé: Les systèmes quantiques ouverts consistent en l'interaction entre un "petit" système et un autre plus grand généralement appelé environnement ou réservoir. Les systèmes avec interactions répétées en sont une classe particulière dans laquelle l'environnement est constitué  de plusieurs sous-systèmes indépendants avec lesquels le petit système interagit de façon successive. Ils permettent par exemple de décrire des  expériences du type "one-atom maser". Le but de cet exposé est d'étudier le système composé d'un mode du champ électromagnétique dans une cavité (le "petit" système) en interaction avec un faisceau d'atomes (les interactions répétées) et couplé à un champ de bosons (un autre environnement). On décrit ainsi un système du type "one-atom maser" avec fuites. On s’intéressera à l'existence/unicité d'un état invariant, à la convergence vers cet état ainsi qu'à la production d’énergie et d'entropie dans le système.

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Conférences : Jennifer DENIS (jennifer.denis @ u-cergy.fr)

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